Matemática [A2]: Introduzindo produto notável

            Nessa semana, em matemática, estamos aprendendo sobre o produto notável, uma continuação do objetivo A2, que começou com a divisão e multiplicação de polinômios (no caso da divisão um monômio por um polinômio) e agora estamos aprendendo uma regrinha básica, que será melhor discutida neste post.

 

         "O quadrado do 1º número +

                   2 vezes o 1º vezes o 2º +

                           O quadrado do 2º número"

Digamos que um exercício seja o seguinte: (x+5y)² e, seguindo a regra citada acima, chegaremos ao polinômio final da seguinte forma:

1º - O QUADRADO DO 1º NÚMERO

Obviamente, o primeiro número é o "x" e iremos elevá-lo ao quadrado = x² (em regras da potência os expoentes devem ser multiplicados: o de dentro com o de fora, ou seja: 1x2)

2º - 2 VEZES O 1º VEZES O 2º

Apesar de parecer meio confuso inicialmente, é basicamente fazer o "x" multiplicado ao "5y". O resultado disso será "5xy", mas não é a resposta final. Como é duas vezes essa multiplicação, é possível fazer um parênteses no meio dessa soma de polinômios (5xy+5xy) para na próxima linha chegarmos ao resultado = 10xy.

3º - O QUADRADO DO 2º NÚMERO

Basta fazer o "5y" elevado ao quadrado, da mesma forma que fizemos anteriormente com o x. Assim, a resposta será "25y²".

NO FINAL

No final basta juntar tudo, com todas as regrinhas, e a resposta será: x²+10xy+25y².

 

Com o que acabamos de perceber anteriormente, podemos dizer que todo o produto notável e quando essa regra, na prática, funciona. Porém, não adianta fazer produto notável de triângulos ou retângulos, por exemplo. É uma regra que funciona apenas com o quadrado (faz sentido ser elevado ao quadrado, ²), e quando for soma, como no caso que viram anteriormente.

Para quem já quiser ir estudando, existem exercícios que recomendamos na página 60 do livro de atividades - as outras são de problemas, que não estudamos, mas que mesmo assim podem ser resolvidas.

ATUALIZADO, 15/05/2011! Produto notável (continuação do conteúdo)

Agora estamos vendo uma outra fórmula em produtos notáveis, que serve para descobrir a figura do quadrado num quadradão. Para melhor compreenderem, fizemos este post rico em imagens e outras informações e dicas.

Essa é a principal diferença entre a primeira fórmula aprendida para essa. Na verdade, não é necessário segui-la totalmente “O quadrado do 1º número - 2 vezes o 1º vezes o 2º + O quadrado do 2º número”, apenas por em prática a sua forma de pensar. Observe:

Exemplo para a resolução
do exercício ao lado

É mais fácil compreender este produto notável quando a primeira fórmula já foi entendida. Este é um pouco mais complicado, porque temos jogos de sinais, assim como a compreensão torna-se mais difícil quando não se entende os motivos da fórmula.

Ok, antes de tudo, pegue um papel, um lápis e uma borracha, e desenhe apenas o quadrado do nosso exemplo ao lado (sem os valores literais). Agora, pense nos valores, só. É claro que, se você fosse achar a área completa do quadrado grande, você basicamente faria a multiplicação: x.x, que daria x². Agora, se fosse só do quadrado pequeno, seria y.y, assim y² (soma expoentes). Se fosse do retângulo, xy (e como são dois, 2xy) e então chegaremos ao resultado final da área: x²+y²+2xy.

Agora, voltando ao desenho, pense no quadrado que você pretende descobrir a área (o destacado de azul no exemplo). É claro que, se fosse simples, bastaria “tirar” os retângulos e o quadro menor. Apague cada um de um lado. Perceba que, você acabou apagando o quadrado menor dos dois lados. E isso torna-se impossível, (tirar duas vezes um único desenho) e é por este motivo que temos o y², justamente para substituir essas duas subtrações. Porém, chegaremos a -2xy, pois, afinal, estamos tirando os dois retângulos.

Na verdade, isso é basicamente como você deve pensar. Agora veja na forma algébrica, como você deve fazer em um exercício (é bem mais fácil quando você, antes de tudo, entendeu o motivo de cada um dos valores).

OBS: Essa postagem poderá ser atualizada. Caso seja, um asterisco (*) aparecerá na frente do título.

Há também outras formas de fazer: em vez de utilizá-lo na forma anterior(x+5y)², também tem como transformá-lo assim: (x+5y)(x+5y), fazendo a distributiva que já aprendemos (postagens anteriores), e chegaremos ao mesmo resultado final. Uma outra observação que poderá servir como dica, pode ser que sempre, depois de fazer o produto notável, teremos como resultado três monômios (trinômio). 

4º -